Cuộc Sống

Công thức lượng giác đầy đủ nhất cho lớp 9, lớp 10, lớp 11

Tổng hợp các công thức lượng giác đầy đủ nhất dùng trong cả chương trình toán lớp 9, 10, 11, bao gồm các công thức lượng giác cơ bản, công thức nhân, biến đổi tích thành cổng, lượng giác của các cung đặc biệt, giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, các công thức nghiệm cơ bản… Hãy nắm vững những công thức này để có thể triển khai các dạng bài tập về lượng giác. Mời các bạn tham khảo.

11 Công thức lượng giác phải nắm chắc

  • 1. Công thức lượng giác cơ bản
  • 2. Công thức cộng lượng giác
  • 3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác
  • 4. Công thức nhân
  • 5. Công thức hạ bậc
  • 6. Biến đổi tổng thành tích
  • 7. Biến đổi tích thành tổng
  • 8. Nghiệm phương trình lượng giác
  • 9. Dấu của các giá trị lượng giác
  • 10. Bảng giá trị lượng giác một số góc đặc biệt
  • 11. Công thức lượng giác bổ sung

1. Công thức lượng giác cơ bản

1. tan x=frac{sin x}{cos x}

2. cot x=frac{cos x}{sin x}

3. sin^2x+cos^2x=1

4. tan x.cot x=1left(xne kfrac{pi}{2}, k ∈ Zright)

5. 1+tan^2x=frac{1}{cos^2x} left(xnefrac{pi}{2}+kpi, k ∈ Zright)

6. 1+cot^2x=frac{1}{sin^2x} left(xne kpi, k ∈ Zright)

1. sin (a ± b) = sin a.cos b ± cos a.sin b

2. cos (a + b) = cos a.cos b – sin a.sin b

3. cos (a – b) = cos a.cos b + sin a.sin b

4. tanleft(a+bright)=frac{tan a+tan b}{1-tan.tan b}

5. tanleft(a-bright)=frac{tan a-tan b}{1+tan a.tan b}

Mẹo nhớ công thức cộng: Sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ. Tan thì tan nọ tan kia chia cho mẫu số 1 trừ tan tan.

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Mẹo nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Hai góc đối nhau:

  • cos (-x) = cos x
  • sin (-x) = -sin x
  • tan (-x) = -tan x
  • cot (-x) = -cot x

Hai góc bù nhau:

  • sin (π – x) = sin x
  • cos (π – x) = -cos x
  • tan (π – x) = -tan x
  • cot (π – x) = -cot x

Hai góc phụ nhau:

  • sin (π/2 – x) = cos x
  • cos (π/2 – x) = sin x
  • tan (π/2 – x) = cot x
  • cot (π/2 – x) = tan x

Hai góc hơn kém π:

  • sin (π + x) = -sin x
  • cos (π + x) = -cos x
  • tan (π + x) = tan x
  • cot (π + x) = cot x

Hai góc hơn kém π/2:

  • sin (π/2 + x) = cos x
  • cos (π/2 + x) = -sin x
  • tan (π/2 + x) = -cot x
  • cot (π/2 + x) = -tan x

4. Công thức nhân

Công thức nhân đôi:

  • sin2a = 2sina.cosa
  • cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
  • tan2a=frac{2tan a}{1-tan^2a}
  • cot2a=frac{cot^2a -1}{2cot a}

Công thức nhân ba:

  • sin3a = 3sina – 4sin3a
  • cos3a = 4cos3a – 3cosa
  • tan3a=frac{3tan a-tan^3a}{1-3tan^2a}
  • cot3a=frac{cot^3a-3cot a}{3cot^2a-1}

Công thức nhân bốn:

  • sin4a = 4.sina.cos3a – 4.cosa.sin3a
  • cos4a = 8.cos4a – 8.cos2a + 1
  • hoặc cos4a = 8.sin4a – 8.sin2a + 1

5. Công thức hạ bậc

Thực ra những công thức này đều được biến đổi ra từ công thức lượng giác cơ bản, ví dụ như: sin2a=1 – cos2a = 1 – (cos2a + 1)/2 = (1 – cos2a)/2.

1. sin^2a = frac{1-cos2a}{2}

2. cos^2a=frac{1+cos2a}{2}

3. sin^3a=frac{3sin a-sin3a}{4}

4. cos^3a=frac{3cos a+cos3a}{4}

6. Công thức biến tổng thành tích

Mẹo nhớ: cos cộng cos bằng 2 cos cos, cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin; sin cộng sin bằng 2 sin cos, sin trừ sin bằng 2 cos sin.

1. cos a+cos b=2cosfrac{a+b}{2}.cosfrac{a-b}{2}

2. cos a-cos b=-2sinfrac{a+b}{2}.sinfrac{a-b}{2}

3. sin a+sin b=2sinfrac{a+b}{2}.cosfrac{a-b}{2}

4. sin a-sin b=2cosfrac{a+b}{2}.sinfrac{a-b}{2}

5. tan a+tan b=frac{sinleft(a+bright)}{cos a.cos b}

6. tan a-tan b=frac{sinleft(a-bright)}{cos a.cos b}

7. sin a+cos a=sqrt{2}sinleft(a+frac{pi}{4}right)=sqrt{2}cosleft(a-frac{pi}{4}right)

8. sin a-cos a=sqrt{2}sinleft(x-frac{pi}{4}right)=-sqrt{2}cosleft(x+frac{pi}{4}right)

9. tan a+cot a=frac{2}{sin2a}

10. cot a-tan a=2cot2a

11. sin^4a+cos^4a=1-frac{1}{2}sin^22a=frac{1}{4}cos4a+frac{3}{4}

12. sin^6a+cos^6a=1-frac{3}{4}sin^22a=frac{3}{8}cos4a+frac{5}{8}

7. Công thức biến đổi tích thành tổng

1. cos a.cos b=frac{1}{2}left[cosleft(a+bright)+cosleft(a-bright)right]2. sin a.sin b=-frac{1}{2}left[cosleft(a+bright)-cosleft(a-bright)right]

3. sin a.cos b=-frac{1}{2}left[sinleft(a+bright)+sinleft(a-bright)right]

8. Nghiệm phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác cơ bản:

1.;sin a=sin b;Leftrightarrowleft[begin{array}{c}a=b+k2mathrmpia=mathrmpi-mathrm b+mathrm k2mathrmpiend{array}(kin Z)right]

2.;cos a=cos b;Leftrightarrow;left[begin{array}{c}a=b+k2mathrmpia=-b+k2mathrmpiend{array}(kin Z)right]

3. tan a = tan b ⇔ a = b + kπ; (k ∈ Z)

4. cot a = cot b ⇔ a = b + kπ; (k ∈ Z)

Phương trình lượng giác trong trường hợp đặc biệt:

  • sin a = 0 ⇔ a = kπ; (k ∈ Z)
  • sin a = 1 ⇔ a = π/2 + k2π; (k ∈ Z)
  • sin a = -1 ⇔ a = -π/2 + k2π; (k ∈ Z)
  • cos a = 0 ⇔ a = π/2 + kπ; (k ∈ Z)
  • cos a = 1 ⇔ a = k2π; (k ∈ Z)
  • cos a = -1 ⇔ a = π + k2π; (k ∈ Z)

9. Dấu của các giá trị lượng giác

Góc phần tư số I II III IV
Giá trị lượng giác
sin x + +
cos x + +
tan x + +
cot x + +

10. Bảng giá trị lượng giác một số góc đặc biệt

 Bảng giá trị lượng giác một số góc đặc biệt

11. Công thức lượng giác bổ sung

Biểu diễn công thức theo t=frac{tan a}{2}  

1. sin a=frac{2t}{1+t^2} 2. cos a=frac{1-t^2}{1+t^2}

3. tan a=frac{2t}{1-t^2} 4. cot a=frac{1-t^2}{2t}

Công thức lượng giác dạng ảnh:

Biến đổi tổng thành tíchCông thức cộng6 công thức lượng giác cơ bảnCông thức hạ bậcBiểu diễn công thức theo Công thức lượng giác bổ sungCông thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giácNghiệm phương trình lượng giácCông thức lượng giác bổ sung

  • Các công thức đạo hàm và đạo hàm lượng giác đầy đủ nhất
Back to top button
You cannot copy content of this page