Học TậpLớp 7

Giải Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

Giải bài tập SGK Toán 7 trang 70, 71 Tập 2 giúp các em học sinh lớp 7 xem gợi ý giải các bài tập của Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc phần Hình học 7 Chương 3.

Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa trang 70, 71 Toán lớp 7 tập 2. Qua đó giúp học sinh lớp 7 tham khảo nắm vững hơn kiến thức trên lớp. Mời các bạn cùng theo dõi bài tại đây.

Lý thuyết Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

1. Định lí 1 (thuận)

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó

GT : M in Oz là tia phân giác của widehat {xOy}

MA ⊥ Ox; MB ⊥ Oy

KL: MA = MB

2. Định lý 2 (đảo)

Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên phân giác của góc đó.

GT : M ở trong widehat {xOy}

MA ⊥ Ox; MB ⊥ Oy

MA=MB

KL: OM là tia phân giác của widehat {xOy}

3. Nhận xét.

Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.

Giải bài tập toán 7 trang 70 tập 2

Bài 31 (trang 70 SGK Toán 7 Tập 2)

Hình 31 cho biết cách vẽ tia phân giác của góc xOy bằng thước hai lề:

Áp một lề của thước vào cạnh Ox, kẻ đường thẳng a theo lề kia.

Làm tương tự với cạnh Oy, ta kẻ được đường thẳng b.

Giải Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

Làm tương tự với cạnh Oy, ta kẻ được đường thẳng b.

Gọi M là giao điểm của a và b, ta có OM là tia phân giác của góc xOy.

Hãy chứng minh tia OM được vẽ như vậy đúng là tia phân giác của góc xOy.

(Gợi ý: Dựa vào bài tập 12 chứng minh các khoảng cách từ M đến Ox và đến Oy bằng nhau (do cùng bằng khoảng cách hai lề của chiếc thước) rồi áp dụng định lí 2)

Xem gợi ý đáp án

Từ bài tập 12 ta biết rằng: độ dài đường vuông góc giữa hai đường thẳng song song chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.

Gọi A, B lần lượt là chân đường cao hạ từ M xuống Ox, Oy ⇒ MA, MB lần lượt là khoảng cách từ M đến Ox, Oy.

Theo cách vẽ bằng thước hai lề và từ bài tập 12 ta suy ra: MA = MB (cùng bằng khoảng cách hai lề của thước) hay điểm M cách đều hai cạnh của góc xOy.

Áp dụng định lý 2 suy ra: OM là tia phân giác của góc xOy.

Giải Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

Bài 32 (trang 70 SGK Toán 7 Tập 2)

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài B1 và C1 (h.32) nằm trên tia phân giác của góc A.

Giải Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

Xem gợi ý đáp án

Gọi M là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài B và C của ∆ABC.

Kẻ MH ⊥ AB; MI ⊥ BC; MK ⊥ AC (như hình vẽ)

Theo định lí thuận về tính chất các điểm thuộc tia phân giác: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Ta có: MH = MI (Vì M thuộc phân giác của góc B ngoài )

MI = MK ( Vì M thuộc phân giác của góc C ngoài )

Suy ra: MH = MK (cùng bằng MI)

Dựa vào định lí đảo về tính chất các điểm thuộc tia phân giác: Điểm nằm bên trong góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

⇒ M thuộc phân giác của góc BAC (đpcm).

Giải Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

Giải bài tập toán 7 trang 70 tập 2: Luyện tập

Bài 33 (trang 70 SGK Toán 7 Tập 2)

Cho hai đường thẳng xx’, yy’ cắt nhau tại O.

a) Chứng minh hai tia phân giác Ot, Ot’ của một cặp góc kề bù tạo thành một góc vuông.

b) Chứng minh rằng: Nếu M thuộc đường thẳng Ot hoặc thuộc đường thẳng Ot’ thì M cách đều hai đường thẳng xx’ và yy’.

c) Chứng minh rằng: Nếu điểm M cách đều hai đường thẳng xx’, yy’ thì M thuộc đường thẳng Ot hoặc thuộc đường thẳng Ot’.

d) Khi M ≡ O thì khoảng cách từ M đến xx’ và yy’ bằng bao nhiêu?

e) Em có nhận xét gì về tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau xx’, yy’.

Giải Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

Xem gợi ý đáp án

a) Vì Ot là tia phân giác của widehat{xOy}

nên widehat{yOt} = widehat{xOt} = dfrac{1}{2}widehat{xOy}

Ot’ là tia phân giác của widehat{xOy'}

nên widehat{xOt'} = widehat{y'Ot'} = dfrac{1}{2}widehat{xOy'}

Rightarrowwidehat{xOt} + widehat{xOt'} = dfrac{1}{2}widehat{xOy} + dfrac{1}{2}widehat{xOy'},=dfrac{1}{2}left( widehat{xOy}+ widehat{xOy'}right)

widehat{xOy} + widehat{xOy'}= 180^o (2 góc kề bù)

Rightarrow widehat{xOt} + widehat{xOt'}= dfrac{1}{2}.{180^o} = {90^o}

Vậy hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông.

b) Nếu M thuộc Ot hoặc Ot’ thì M cách đều hai đường thẳng xx’ và yy’.

Thật vậy, giả sử M in Ot.

Do Ot là phân giác của widehat{xOy} nên M cách đều Ox, Oy (Theo định lí 1)

⇒ M cách đều xx’,yy’

Nếu M in Ot'

Do Ot’ là phân giác của widehat{xOy'} nên M cách đều Ox, Oy’ (Theo định lí 1)

⇒ M cách đều xx’,yy’

⇒ M thuộc Ot hoặc Ot’ thì M cách đều hai đường thẳng xx’ và yy’.

c) Nếu M cách đều hai đường thẳng xx’, yy’ và M luôn nằm trong một góc trong bốn góc widehat{xOy}, widehat{xOy'}, widehat{x'Oy'}, widehat{x'Oy} thì M phải thuộc phân giác của góc ấy tức M phải thuộc đường thẳng Ot hoặc đường thẳng Ot’.

Thật vậy:

M cách đều hai đường thẳng xx’ và yy’ nên theo định lý 2 ta có:

+ Nếu M thuộc miền trong góc xOy ⇒ M thuộc tia Ot.

+ Nếu M thuộc miền trong góc xOy’ ⇒ M thuộc tia Ot’.

+ Nếu M thuộc miền trong góc y’Ox’ ⇒ M thuộc tia đối của tia Ot.

+ Nếu M thuộc miền trong góc x’Oy ⇒ M thuộc tia đối của tia Ot’ .

d) Khi M ≡ O thì khoảng cách từ M đến xx’, yy’ bằng 0.

e) Từ các câu trên ta có nhận xét: Tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau xx’, yy’ thuộc hai đường thẳng vuông góc nhau lần lượt là phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau đó.

Bài 34 (trang 70 SGK Toán 7 Tập 2)

Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B, trên tia Oy lấy hai điểm C và D sao cho OA = OC, OB = OD. Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng AD và BC. Chứng minh rằng:

a) BC = AD;

b) IA = IC, IB = ID;

c) Tia OI là tia phân giác của góc xOy.

Xem gợi ý đáp án

a) ΔAOD và ΔCOB có:

OA = OC (giả thiết)

Góc O chung

OD = OB (giả thiết)

⇒ ΔAOD = ΔCOB (c.g.c)

⇒ AD = BC (hai cạnh tương ứng)

b) Vì ∆AOD = ∆COB (câu a) nên widehat{D} = widehat{B}widehat{C_1} = widehat{A_1}

Ta có: OA + AB = OB ⇒ AB = OB – OA = OD – OC = CD

Hay AB=CD

Ta có:widehat{A_1} + widehat{A_2} = 180^o (2 góc kề bù)

Rightarrow widehat{A_2} = 180^o - widehat{A_1} = 180^o - widehat{C_1} = widehat{C_2}

Xét ∆AIB và ∆CID ta có:

+) AB = CD (chứng minh trên)

+)widehat{B} = widehat{D} (chứng minh trên)

+)widehat{A_2} = widehat{C_2} (chứng minh trên)

Vậy ∆AIB = ∆CID (g.c.g)

⇒ IC = IA và ID = IB (hai cạnh tương ứng)

c) Xét ∆OAI và ∆OCI ta có:

+) OA = OC (giả thiết)

+) widehat{A_1} = widehat{C_1} (chứng minh trên)

+) IA = IC (chứng minh trên)

Vậy ∆OAI = ∆OCI (c.g.c)

Rightarrowwidehat{AOI} = widehat{COI}

⇒ OI là phân giác của widehat{xOy}.

Giải Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

Bài 35 (trang 70 SGK Toán 7 Tập 2)

Có mảnh sắt phẳng hình dạng một góc (h.34) và một chiếc thước thẳng có chia khoảng. Làm thế nào để vẽ được tia phân giác của góc này?

Giải Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

Gợi ý: Áp dụng bài tập 34.

Xem gợi ý đáp án

Giải Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

Gọi O là đỉnh của góc

–  Trên cạnh thứ nhất lấy hai điểm phân biệt A ; B

–  Trên cạnh thứ hai lấy hai điểm C ; D sao cho OA = OC, OB = OD

– Xác định giao điểm I của BC và AD ; tia vẽ từ đỉnh O qua I chính là tia phân giác của góc đó.

(Phần chứng minh tương tự bài 34)

Giải bài tập SGK Toán 7 trang 70, 71 Tập 2 giúp các em học sinh lớp 7 xem gợi ý giải các bài tập của Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc phần Hình học 7 Chương 3.

Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa trang 70, 71 Toán lớp 7 tập 2. Qua đó giúp học sinh lớp 7 tham khảo nắm vững hơn kiến thức trên lớp. Mời các bạn cùng theo dõi bài tại đây.

Lý thuyết Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

1. Định lí 1 (thuận)

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó

GT : M in Oz là tia phân giác của widehat {xOy}

MA ⊥ Ox; MB ⊥ Oy

KL: MA = MB

2. Định lý 2 (đảo)

Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên phân giác của góc đó.

GT : M ở trong widehat {xOy}

MA ⊥ Ox; MB ⊥ Oy

MA=MB

KL: OM là tia phân giác của widehat {xOy}

3. Nhận xét.

Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.

Giải bài tập toán 7 trang 70 tập 2

Bài 31 (trang 70 SGK Toán 7 Tập 2)

Hình 31 cho biết cách vẽ tia phân giác của góc xOy bằng thước hai lề:

Áp một lề của thước vào cạnh Ox, kẻ đường thẳng a theo lề kia.

Làm tương tự với cạnh Oy, ta kẻ được đường thẳng b.

Giải Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

Làm tương tự với cạnh Oy, ta kẻ được đường thẳng b.

Gọi M là giao điểm của a và b, ta có OM là tia phân giác của góc xOy.

Hãy chứng minh tia OM được vẽ như vậy đúng là tia phân giác của góc xOy.

(Gợi ý: Dựa vào bài tập 12 chứng minh các khoảng cách từ M đến Ox và đến Oy bằng nhau (do cùng bằng khoảng cách hai lề của chiếc thước) rồi áp dụng định lí 2)

Xem gợi ý đáp án

Từ bài tập 12 ta biết rằng: độ dài đường vuông góc giữa hai đường thẳng song song chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.

Gọi A, B lần lượt là chân đường cao hạ từ M xuống Ox, Oy ⇒ MA, MB lần lượt là khoảng cách từ M đến Ox, Oy.

Theo cách vẽ bằng thước hai lề và từ bài tập 12 ta suy ra: MA = MB (cùng bằng khoảng cách hai lề của thước) hay điểm M cách đều hai cạnh của góc xOy.

Áp dụng định lý 2 suy ra: OM là tia phân giác của góc xOy.

Giải Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

Bài 32 (trang 70 SGK Toán 7 Tập 2)

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài B1 và C1 (h.32) nằm trên tia phân giác của góc A.

Giải Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

Xem gợi ý đáp án

Gọi M là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài B và C của ∆ABC.

Kẻ MH ⊥ AB; MI ⊥ BC; MK ⊥ AC (như hình vẽ)

Theo định lí thuận về tính chất các điểm thuộc tia phân giác: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Ta có: MH = MI (Vì M thuộc phân giác của góc B ngoài )

MI = MK ( Vì M thuộc phân giác của góc C ngoài )

Suy ra: MH = MK (cùng bằng MI)

Dựa vào định lí đảo về tính chất các điểm thuộc tia phân giác: Điểm nằm bên trong góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

⇒ M thuộc phân giác của góc BAC (đpcm).

Giải Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

Giải bài tập toán 7 trang 70 tập 2: Luyện tập

Bài 33 (trang 70 SGK Toán 7 Tập 2)

Cho hai đường thẳng xx’, yy’ cắt nhau tại O.

a) Chứng minh hai tia phân giác Ot, Ot’ của một cặp góc kề bù tạo thành một góc vuông.

b) Chứng minh rằng: Nếu M thuộc đường thẳng Ot hoặc thuộc đường thẳng Ot’ thì M cách đều hai đường thẳng xx’ và yy’.

c) Chứng minh rằng: Nếu điểm M cách đều hai đường thẳng xx’, yy’ thì M thuộc đường thẳng Ot hoặc thuộc đường thẳng Ot’.

d) Khi M ≡ O thì khoảng cách từ M đến xx’ và yy’ bằng bao nhiêu?

e) Em có nhận xét gì về tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau xx’, yy’.

Giải Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

Xem gợi ý đáp án

a) Vì Ot là tia phân giác của widehat{xOy}

nên widehat{yOt} = widehat{xOt} = dfrac{1}{2}widehat{xOy}

Ot’ là tia phân giác của widehat{xOy'}

nên widehat{xOt'} = widehat{y'Ot'} = dfrac{1}{2}widehat{xOy'}

Rightarrowwidehat{xOt} + widehat{xOt'} = dfrac{1}{2}widehat{xOy} + dfrac{1}{2}widehat{xOy'},=dfrac{1}{2}left( widehat{xOy}+ widehat{xOy'}right)

widehat{xOy} + widehat{xOy'}= 180^o (2 góc kề bù)

Rightarrow widehat{xOt} + widehat{xOt'}= dfrac{1}{2}.{180^o} = {90^o}

Vậy hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông.

b) Nếu M thuộc Ot hoặc Ot’ thì M cách đều hai đường thẳng xx’ và yy’.

Thật vậy, giả sử M in Ot.

Do Ot là phân giác của widehat{xOy} nên M cách đều Ox, Oy (Theo định lí 1)

⇒ M cách đều xx’,yy’

Nếu M in Ot'

Do Ot’ là phân giác của widehat{xOy'} nên M cách đều Ox, Oy’ (Theo định lí 1)

⇒ M cách đều xx’,yy’

⇒ M thuộc Ot hoặc Ot’ thì M cách đều hai đường thẳng xx’ và yy’.

c) Nếu M cách đều hai đường thẳng xx’, yy’ và M luôn nằm trong một góc trong bốn góc widehat{xOy}, widehat{xOy'}, widehat{x'Oy'}, widehat{x'Oy} thì M phải thuộc phân giác của góc ấy tức M phải thuộc đường thẳng Ot hoặc đường thẳng Ot’.

Thật vậy:

M cách đều hai đường thẳng xx’ và yy’ nên theo định lý 2 ta có:

+ Nếu M thuộc miền trong góc xOy ⇒ M thuộc tia Ot.

+ Nếu M thuộc miền trong góc xOy’ ⇒ M thuộc tia Ot’.

+ Nếu M thuộc miền trong góc y’Ox’ ⇒ M thuộc tia đối của tia Ot.

+ Nếu M thuộc miền trong góc x’Oy ⇒ M thuộc tia đối của tia Ot’ .

d) Khi M ≡ O thì khoảng cách từ M đến xx’, yy’ bằng 0.

e) Từ các câu trên ta có nhận xét: Tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau xx’, yy’ thuộc hai đường thẳng vuông góc nhau lần lượt là phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau đó.

Bài 34 (trang 70 SGK Toán 7 Tập 2)

Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B, trên tia Oy lấy hai điểm C và D sao cho OA = OC, OB = OD. Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng AD và BC. Chứng minh rằng:

a) BC = AD;

b) IA = IC, IB = ID;

c) Tia OI là tia phân giác của góc xOy.

Xem gợi ý đáp án

a) ΔAOD và ΔCOB có:

OA = OC (giả thiết)

Góc O chung

OD = OB (giả thiết)

⇒ ΔAOD = ΔCOB (c.g.c)

⇒ AD = BC (hai cạnh tương ứng)

b) Vì ∆AOD = ∆COB (câu a) nên widehat{D} = widehat{B}widehat{C_1} = widehat{A_1}

Ta có: OA + AB = OB ⇒ AB = OB – OA = OD – OC = CD

Hay AB=CD

Ta có:widehat{A_1} + widehat{A_2} = 180^o (2 góc kề bù)

Rightarrow widehat{A_2} = 180^o - widehat{A_1} = 180^o - widehat{C_1} = widehat{C_2}

Xét ∆AIB và ∆CID ta có:

+) AB = CD (chứng minh trên)

+)widehat{B} = widehat{D} (chứng minh trên)

+)widehat{A_2} = widehat{C_2} (chứng minh trên)

Vậy ∆AIB = ∆CID (g.c.g)

⇒ IC = IA và ID = IB (hai cạnh tương ứng)

c) Xét ∆OAI và ∆OCI ta có:

+) OA = OC (giả thiết)

+) widehat{A_1} = widehat{C_1} (chứng minh trên)

+) IA = IC (chứng minh trên)

Vậy ∆OAI = ∆OCI (c.g.c)

Rightarrowwidehat{AOI} = widehat{COI}

⇒ OI là phân giác của widehat{xOy}.

Giải Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

Bài 35 (trang 70 SGK Toán 7 Tập 2)

Có mảnh sắt phẳng hình dạng một góc (h.34) và một chiếc thước thẳng có chia khoảng. Làm thế nào để vẽ được tia phân giác của góc này?

Giải Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

Gợi ý: Áp dụng bài tập 34.

Xem gợi ý đáp án

Giải Toán 7 Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

Gọi O là đỉnh của góc

–  Trên cạnh thứ nhất lấy hai điểm phân biệt A ; B

–  Trên cạnh thứ hai lấy hai điểm C ; D sao cho OA = OC, OB = OD

– Xác định giao điểm I của BC và AD ; tia vẽ từ đỉnh O qua I chính là tia phân giác của góc đó.

(Phần chứng minh tương tự bài 34)

Back to top button